• 设椭圆C:的一个顶点与抛物线:的焦点重合,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,离心率,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在直线l,使得,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求的值.试题及答案-解答题-云返教育

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      设椭圆C:的一个顶点与抛物线:的焦点重合,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,离心率,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点.
      (I)求椭圆C的方程;
      (Ⅱ)是否存在直线l,使得
      ,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;
      (Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求
      的值.

      试题解答


      见解析
      (I)抛物线的焦点坐标为(0,),可得椭圆的上顶点为(0,),得b=
      ∵椭圆的离心率
      ,得=,解得a=,c=1
      ∴椭圆C的方程是

      (II)由(I)得椭圆C的右焦点为F
      2(1,0)
      ①当直线l与x轴垂直时,直线l斜率不存在,此时M(1,
      ),N(1,-
      =1×1+×(-)=-,不符合题意;
      ②当直线l与x轴不垂直时,设直线方程l:y=k(x-1),且M(x
      1,y1),N(x2,y2
      ,得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0
      x
      1+x2=,x1?x2=
      =x1?x2+y1?y2=x1?x2+k2[x1?x2-(x1+x2)+1]=(1+k2)x1?x2-k2(x1+x2)+k2=-1
      即(1+k
      2)?-k2?+k2=-1
      解之得k=
      ,故直线l的方程是y=(x-1)或y=-(x-1).
      (III)设M(x
      1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4
      由(II)得|MN|=
      =|x1-x2|
      =
      ==
      消去y,整理得
      ∴|AB|=
      =|x3-x4|=2
      ==6.

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