• 在平面直角坐标系xoy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意-点M(x,y)满足:.(l)求曲线C的方程;(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN.试探究kPM?kPN的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点M (0,m)在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

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      在平面直角坐标系xoy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意-点M(x,y)满足:
      (l)求曲线C的方程;
      (2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k
      PM,kPN.试探究kPM?kPN的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;
      (3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点M (0,m)在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为(0,2)时,
      取得最小值,求实数m的取值范围.

      试题解答


      见解析
      (1)由题意,可得
      ∵A(-1,1),B(1,1),M(x,y)

      由此可得,

      又∵
      ,且

      化简整理得:
      ,即为所求曲线C的方程.
      (2)因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,
      所以可设P(x,y),M(x
      ,y),N(-x,-y).
      ∴P,M,N在椭圆上,
      ,…①.,…②
      ①-②,得

      又∵


      因此,k
      PM?kPN的值恒等于-,与点P的位置和直线L的位置无关.
      (3)由于P(x,y)在椭圆C:
      上运动,可得x2=3-y2且-2≤y≤2
      =(x,y-m),
      ∴|
      |===
      由题意,点P的坐标为(0,2)时,
      取得最小值,
      即当y=2时,
      取得最小值,而-2≤y≤2,故有4m≥2,解之得
      又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为(0,2)、(0,-2),而点M在线段DE上,即-2≤m≤2,
      ,实数m的取值范围是

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