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已知椭圆c：=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知椭圆c：

=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．

试题解答

见解析

（1）由题意，得

，解之得a=2，b=

，c=1
故椭圆C的方程为

=1，离心率e=

；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直线AF₁的斜率为k=tan

=

∴直线AF₁的方程为y=

（x+1）
设点O关于直线AF₁的对称点为M（m，n），则

，
解之得m=-

，n=

，可得M坐标为（-

，

），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值为|MF₂|=

=

直线MF₂的方程为y=

（x-1），即y=-

（x-1）
由

解得

，所以此时点P的坐标为（-

，

）．
综上所述，可得求|PF₂|+|PO|的最小值为

，此时点P的坐标为（-

，

）．

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