如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．试题及答案-解答题-云返教育

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如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延

长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

见解析

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=

×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中

{	∠A=∠MDF AM=DM ∠AME=∠DMF

，
∴△AME≌△DMF（ASA）
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=

√x²+1

∴EF=2ME=2

√x²+1

过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴

，即

∴MG=2ME=2

√x²+1

∴y=

EF×MG=

×2

√x²+1

×2

√x²+1

=2x²+2
∴y=2x²+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；

在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG=

=2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG=

GG′

=2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=

GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（8分）

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