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  • 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=225S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
      （1）当t为何值时，PE∥AB；
      （2）设△PEQ的面积为y（cm      2），求y与t之间的函数关系式；
      （3）是否存在某一时刻t，使S      △PEQ=
      2
      25
      S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
      （4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当PE∥AB时，
      ∴
      DE
      DA
      =
      DP
      DB
      ．
      而DE=t，DP=10-t，
      ∴
      t
      6
      =
      10-t
      10
      ，
      ∴t=
      15
      4
      ，
      ∴当t=
      15
      4
      （s），PE∥AB．

      （2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
      ∴EF平行且等于CD，
      ∴四边形CDEF是平行四边形．
      ∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
      ∵BC=BD=10，
      ∴△DEQ∽△BCD．
      ∴
      DE
      BC
      =
      EQ
      CD
      ．
      t
      10
      =
      EQ
      4
      ．
      ∴EQ=
      2
      5
      t．
      过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
      ∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
      ∴CM=
      1
      2
      CD=2cm，
      ∴BM=
      √102-22
      =
      √100-4
      =
      √96
      =4
      √6
      cm，
      ∵EF∥CD，
      ∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
      又∵BD=BC，
      ∴∠BDC=∠BCD，
      ∴∠BQF=∠BFG，
      ∵ED∥BC，
      ∴∠DEQ=∠QFB，
      又∵∠EQD=∠BQF，
      ∴∠DEQ=∠DQE，
      ∴DE=DQ，
      ∴ED=DQ=BP=t，
      ∴PQ=10-2t．
      又∵△PNQ∽△BMD，
      ∴
      PQ
      BD
      =
      PN
      BM
      ．
      ∴
      10-2t
      10
      =
      PN
      4
      √6
      ．
      ∴PN=4
      √6
      (1-
      t
      5
      )．
      ∴S      △PEQ=
      1
      2
      EQ?PN=
      1
      2
      ×
      2
      5
      t×4
      √6
      (1-
      t
      5
      )=-
      4
      √6
      25
      t2+
      4
      √6
      5
      t．

      （3）S      △BCD=
      1
      2
      CD?BM=
      1
      2
      ×4×4
      √6
      =8
      √6
      ，
      若S      △PEQ=
      2
      25
      S△BCD，
      则有-
      4
      √6
      25
      t2+
      4
      √6
      5
      t=
      2
      25
      ×8
      √6
      ，
      解得t      1=1，t2=4．

      （4）在△PDE和△FBP中，
      ∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
      ∴△PDE≌△FBP（SAS）．
      ∴S      五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=8
      √6
      ．
      ∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．
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      九年级下册华师大版解答题初三数学

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