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三角形ABC内部有1999个点,以顶点A,B,C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形?试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
三角形ABC内部有1999个点,以顶点A,B,C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形?
试题解答
见解析
解:设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a
n-1
个小三角形,我们考虑新增加一个点P
n
之后的情况:
(1)若点P
n
在某个小三角形的内部,如图(a),则原小三角形的三个顶点连同P
n
将这个小三角形一分为三,即增加了两个小三角形;
(2)若点P
n
在某两个小三角形公共边上,如图(b).则这两个小三角形的顶点连同点P
n
将这两个小三角形分别一分为二,即也增加了两个小三角形.
所以,△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
a
n
=a
n-1
+2.
易知a
0
=1,于是
a
1
=a
0
+2,a
2
=a
1
+2,a
n
=a
n-1
+2.
将上面这些式子相加,得
a
n
=2n+1.
所以,当n=1999时,三个顶点A,B,C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形.
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