• 三角形ABC内部有1999个点,以顶点A,B,C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形?试题及答案-解答题-云返教育

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      三角形ABC内部有1999个点,以顶点A,B,C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形?

      试题解答


      见解析

      解:设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a
      n-1个小三角形,我们考虑新增加一个点Pn之后的情况:
      (1)若点P
      n在某个小三角形的内部,如图(a),则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三,即增加了两个小三角形;
      (2)若点P
      n在某两个小三角形公共边上,如图(b).则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二,即也增加了两个小三角形.
      所以,△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
      a
      n=an-1+2.
      易知a
      0=1,于是
      a
      1=a0+2,a2=a1+2,an=an-1+2.
      将上面这些式子相加,得
      a
      n=2n+1.
      所以,当n=1999时,三个顶点A,B,C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形.

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