• 如图,在正方形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE、CE,点F是CE的中点,连接DF、BF,点M是BF上一点且BMMF=12,过点M做MN⊥BC于点N,连接FN.下列结论中:①BE=CE;②∠BEF=∠DFE;③MN=16AB;④S△FMNS四边形EFNB=16.其中正确结论的个数是( )试题及答案-单选题-云返教育

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      如图,在正方形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE、CE,点F是CE的中点,连接DF、BF,点M是BF上一点且
      BM
      MF
      =
      1
      2
      ,过点M做MN⊥BC于点N,连接FN.下列结论中:
      ①BE=CE;②∠BEF=∠DFE;③MN=
      1
      6
      AB;④
      S△FMN
      S四边形EFNB
      =
      1
      6

      其中正确结论的个数是(  )

      试题解答


      C
      解:∵四边形ABCD是正方形,
      ∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=DA,AD∥BC.
      设AE=a,则DE=a,AB=BC=CD=DA=2a.
      在△ABE中,由勾股定理,得BE=
      5
      a,
      在△CDE中,由勾股定理,得CE=
      5
      a,
      ∴BE=CE,故①正确;
      过点F作FG⊥AD于G,FG交BC于H.
      ∵AD∥BC,FG⊥AD,∴GH⊥BC.
      ∵FG∥CD,点F是CE的中点,
      ∴EG=DG=
      1
      2
      DE=
      1
      2
      a,GF=
      1
      2
      CD=a.
      在直角△ABE中,∵tan∠AEB=
      AB
      AE
      =
      2a
      a
      =2,
      在直角△GFD中,∵tan∠GDF=
      GF
      DG
      =
      a
      1
      2
      a
      =2,
      ∴tan∠AEB=tan∠GDF,
      ∵0°<∠AEB<90°,0°<∠GDF<90°,
      ∴∠AEB=∠GDF,
      ∴BE∥DF,
      ∴∠BEF=∠DFE,故②正确;
      易证△EFG≌△CFH,则FG=FH=a,EG=CH=
      1
      2
      a.
      ∵GH∥CD,GD∥HC,∠CDA=90°,
      ∴四边形CDGH是矩形,
      ∴CH=DG=
      1
      2
      a,
      ∴BH=BC-CH=
      3
      2
      a.
      ∵MN⊥BC,GH⊥BC,
      ∴MN∥FH,
      MN
      FH
      =
      BN
      BH
      =
      BM
      BF
      =
      1
      3

      ∴MN=
      1
      3
      FH=
      1
      3
      a,BN=
      1
      3
      BH=
      1
      2
      a,
      ∴MN=
      1
      6
      AB,故③正确;
      ∵BN=CH=
      1
      2
      a,
      ∴NH=BC-BN-CH=a,
      ∴S
      △FMN=
      1
      2
      MN?NH=
      1
      2
      ×
      1
      3
      a×a=
      1
      6
      a2
      S
      四边形FEBN=S正方形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△CNF=4a2-
      1
      2
      ?2a?a-
      1
      2
      ?2a?a-
      1
      2
      ?
      3
      2
      a?a=
      5
      4
      a2
      S△FMN
      S四边形EFNB
      =
      1
      6
      a2
      5
      4
      a2
      =
      2
      15
      ,故④错误.
      故选C.
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