如图，P为等腰Rt△ABC外一点，∠BAC=90°，连PB、PC、PA，PA交BC于E点，且∠APC=45°，下列结论：①∠BPA=45°．②S△ABES△ACE=PBPC．③PB+PC=√2PA．其中正确的是（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

如图，P为等腰Rt△ABC外一点，∠BAC=90°，连PB、PC、PA，PA交BC于E点，且∠APC=45°，下列结论：
①∠BPA=45°．②

S_△ABE

S_△ACE

．③PB+PC=

√2

PA．
其中正确的是（　　）

解：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠ABC=∠APC，
即A、B、P、C四点共圆，
∴∠APB=∠ACB=45°，
∴①正确；
∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB，
∴△BAE∽△PAB，
∴

，
同理可证△CAE∽△PAC，
∴

，
∵AB=AC，
∴

，
即

，
∵△ABE的边BE上的高和△ACE的边CE上的高相同，设高为h，
∴

S_△ABE

S_△ACE

×BE×h

×CE×h

，
∴②正确；

过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，
∵∠BAC=90°，AD⊥PA，
∴∠DAP=90°=∠BAC，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠4=∠ACP，
在△ADB和△APC中

{	∠1=∠3 AB=AC ∠4=∠ACP

，
∴△ADB≌△APC（ASA），
∴PC=BD，AD=AP，
∴△DAP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DP=

√AP²+AP²

√2

AP，
∵DP=BP+BD=BP+PC，
即PB+PC=

√2

PA，
∴③正确；
故选D．

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