• 如图,直角梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,AB=AD,DE⊥BC于E,点F为AB上一点,且AF=EC,点M为FC的中点,连接FD、BD、ME,设FC与DE相交于点N,下列结论:①∠FDB=∠FCB;②△DFN∽△DBC;③FB=√2ME;④ME垂直平分BD,其中正确结论的个数是( )试题及答案-单选题-云返教育

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      如图,直角梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,AB=AD,DE⊥BC于E,点F为AB上一点,且AF=EC,点M为FC的中点,连接FD、BD、ME,设FC与DE相交于点N,下列结论:
      ①∠FDB=∠FCB;②△DFN∽△DBC;③FB=
      2
      ME;④ME垂直平分BD,
      其中正确结论的个数是(  )

      试题解答


      D
      解:∵直角梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,DE⊥BC,
      ∴∠ABC=∠BED=90°,
      ∴四边形ABED是矩形,
      ∵AB=AD,
      ∴四边形ABED是正方形,
      ∴AD=DE,
      在△ADF和△EDC中,
      {
      AD=ED
      ∠A=∠DEC=90°
      AF=EC

      ∴△ADF≌△EDC(SAS),
      ∴∠ADF=∠EDC,
      ∵∠ADF+∠FDE=90°,
      ∴∠FDC=∠FDE+∠EDC=90°,
      ∴∠FDC+∠FBC=180°,
      ∴F,B,C,D四点共圆,
      ∴∠FDB=∠FCB,
      故①正确;
      ∴∠DFN=∠DBC,
      ∵∠FDE+∠EDC=90°,∠EDC+∠ECD=90°,
      ∴∠FDE=∠ECD,
      即∠FDN=∠BCD,
      ∴△DFN∽△DBC,
      故②???确;
      连接BM,DM,
      ∵∠FBC=∠FDC=90°,点M为FC的中点,
      ∴BM=DM=
      1
      2
      BC,
      ∴M在BD的垂直平分线上,
      ∵ED=BE,
      ∴E在BD的垂直平分线上,
      ∴ME垂直平分BD;
      故④正确;
      过点M作MH⊥BC于M,
      则MH∥AB,
      ∵M在BD的垂直平分线上,
      ∴MH是△CBF的中位线,
      ∴FB=2MH,
      ∵ME垂直平分BD,
      ∴∠MEH=
      1
      2
      ∠BED=45°,
      ∴MH=ME?sin∠MEH=ME?sin45°=
      2
      2
      ME,
      ∴FB=
      2
      ME.
      故③正确.
      故选D.

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