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  • 在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是（　　）

      试题解答

      D
      解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
      ∴∠BAD=90°．
      ∵AB=CB，
      ∴∠BAC=45°，
      ∴∠DAC=45°．
      又∵AC=AC，
      ∴△AEC≌△ADC．
      ∴①△ACD≌△ACE正确．
      ∵△AEC≌△ADC，
      ∴DC=CE．
      又∵AD=AE，
      ∴AC是DE的垂直平分线．
      即AC垂直平分ED．
      ∴②AC垂直平分ED正确．
      易证F、A、B、C共圆，
      因为BC为弦，∠CFB=CAB=45°，FB∥CD，
      所以∠FCD=45°，∠ACE=∠ACD=22.5°，
      又因为∠ACB=45°，
      所以∠FCB等于22.5，
      故④正确；
      延长DA，交BF延长线于M，
      易证MBCD是平行四边形，对
      角相等，所以∠M=67.5°，
      易证∠FAB=∠FCB（以FB为弦，亦可以用8字结构，相似），
      所以∠FAE=22.5°，
      所以∠MAF=67.5°，
      所以∠M=∠MAF，
      故AF=MF，
      易证∠EBF=22.5°，
      所以∠FAB=∠FBA，
      所以AF=FB，
      所以MF=BF，
      又因为MB=CD=CE（对边以及全等），
      所以2FB=CE④∵∠ABC=90°，OE=OC，
      ∴BO=CO=
      1
      2
      CE
      ∴∠OCB=∠OBC．
      ∵∠FOB=∠OCB+∠OBC，
      ∴∠FOB=2∠OCB．
      ∵BF∥CD，
      ∴∠BFO=∠DCF．
      ∵∠BFO=∠DCF=∠FOB，
      ∴∠BFO=∠FOB．
      ∴BF=OB．
      ∴BF=
      1
      2
      CE，
      即CE=2BF，故③正确．
      故答案选D．
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