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  • （2013?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（1）证明DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2013?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
      （1）证明DE∥CB；
      （2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连结CE．
      ∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
      ∴CE=
      1
      2
      AB=AE．
      ∵△ACD是等边三角形，
      ∴AD=CD．
      在△ADE与△CDE中，
      {
      AD=DC
      DE=DE
      AE=CE
      ，
      ∴△ADE≌△CDE（SSS），
      ∴∠ADE=∠CDE=30°．
      ∵∠DCB=150°，
      ∴∠EDC+∠DCB=180°．
      ∴DE∥CB．

      （2）解：∵∠DCB=150°，
      若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
      ∴∠B=30°．
      在Rt△ACB中，sinB=
      AC
      AB
      ，sin30°=
      AC
      AB
      =
      1
      2
      ，AC=
      1
      2
      AB或AB=2AC．
      ∴当AC=
      1
      2
      AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
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      八年级下册北师大版人教版解答题初二数学

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