• (2013?连云港)在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.(1)求证:四边形BFDE为平行四边形;(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.试题及答案-解答题-云返教育

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      (2013?连云港)在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.
      (1)求证:四边形BFDE为平行四边形;
      (2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.

      试题解答


      见解析
      (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
      ∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,
      ∴∠ABD=∠CDB,
      ∵在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,
      ∴∠ABE=∠EBD=
      1
      2
      ∠ABD,∠CDF=
      1
      2
      ∠CDB,
      ∴∠ABE=∠CDF,
      在△ABE和△CDF中
      {
      ∠A=∠C
      AB=CD
      ∠ABE=∠CDF

      ∴△ABE≌△CDF(ASA),
      ∴AE=CF,
      ∵四边形ABCD是矩形,
      ∴AD=BC,AD∥BC,
      ∴DE=BF,DE∥BF,
      ∴四边形BFDE为平行四边形;

      解法二:证明:∵四边形ABCD是矩形,
      ∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,
      ∴∠ABD=∠CDB,
      ∴∠EBD=∠FDB,
      ∴EB∥DF,
      ∵ED∥BF,
      ∴四边形BFDE为平行四边形.

      (2)解:∵四边形BFDE为菱形,
      ∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE,
      ∵四边形ABCD是矩形,
      ∴AD=BC,∠ABC=90°,
      ∴∠ABE=30°,
      ∵∠A=90°,AB=2,
      ∴AE=
      2
      3
      =
      2
      3
      3
      ,BE=2AE=
      4
      3
      3

      ∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=
      2
      3
      3
      +
      4
      3
      3
      =2
      3
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