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如图,△ABC的高CF、BG相交于点H,分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点,则下列结论:①AD=AE;②AH=AE;③若DE为△ABC的外接圆的直径,则BC=AE.其中正确的是( )试题及答案-单选题-云返教育
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如图,△ABC的高CF、BG相交于点H,分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点,则下列结论:①AD=AE;②AH=AE;③若DE为△ABC的外接圆的直径,则BC=AE.其中正确的是( )
试题解答
D
解:①∵CF、BG是△ABC的高,
∴∠AGB=∠AFC=90°,
∴∠BAC+∠ABG=90°,∠BAC+∠ACF=90°,
∴∠ABG=∠ACF,
∴
⌒
AD
=
⌒
AE
,
∴AD=AE;
故①正确;
②延长AH交BC于M点,
∵H是垂心,
∴AM⊥BC,
∴在△AMC和△AGH中,∠AHG+∠MAC=90°,∠ACM+∠MAC=90°,
∴∠ACB=∠AHE,
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠AHE=∠AEB,
∴AE=AH;
故②正确;
③由①②可知AD=AE=AH,
∴△AHG≌△AEG,△ADF≌△AHF,
∴∠DAF=∠HAF,∠EAG=∠HAG,
∴∠BAC=
1
2
∠DAE,
∵当DE为直径时,∠DAE=90°,
∴∠BAC=45°,
∵在Rt△ADE,AD=AE,
∴∠ADE=45°,
∴AE=BC.
故③正确.
故选D.
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