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  • 如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

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      如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（　　）

      试题解答

      D
      解：①∵CF、BG是△ABC的高，
      ∴∠AGB=∠AFC=90°，
      ∴∠BAC+∠ABG=90°，∠BAC+∠ACF=90°，
      ∴∠ABG=∠ACF，
      ∴      ⌒AD=⌒AE，
      ∴AD=AE；
      故①正确；
      ②延长AH交BC于M点，
      ∵H是垂心，
      ∴AM⊥BC，
      ∴在△AMC和△AGH中，∠AHG+∠MAC=90°，∠ACM+∠MAC=90°，
      ∴∠ACB=∠AHE，
      ∵∠ACB=∠AEB，
      ∴∠AHE=∠AEB，
      ∴AE=AH；
      故②正确；
      ③由①②可知AD=AE=AH，
      ∴△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，
      ∴∠DAF=∠HAF，∠EAG=∠HAG，
      ∴∠BAC=
      1
      2
      ∠DAE，
      ∵当DE为直径时，∠DAE=90°，
      ∴∠BAC=45°，
      ∵在Rt△ADE，AD=AE，
      ∴∠ADE=45°，
      ∴AE=BC．
      故③正确．
      故选D．
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