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  • △ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是⌒BC的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      △ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是⌒BC的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为          ．

      试题解答

      √3
      4
      a2
      解：解法一：在ABDC中，∠BAC=60度，所以∠BDC=120°，
      ∵点D是弧BC的中点，
      ∴BD=DC，
      ∴∠DBC=∠DCB=30°，
      在△BDC中用正弦定理，得
      ∴BC=
      √3
      BD，
      设BD=DC=x，那么BC=
      √3
      x，
      用托勒密定理：AD?BC=AB?DC+BD?AC，
      即
      √3
      ax=x?AB+x?AC，
      则AB+AC=
      √3
      a，
      S      四边形ABDC=S△ABD+S△ACD=
      1
      2
      （AB?AD?sin∠BAD+AC?AD?sin∠DAC），
      =
      1
      2
      （AB+AC）AD???sin30°，
      =
      √3
      4
      a2；

      解法二：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
      ∵D是      ⌒BC的中点，
      ∴BD=CD，∠BAD=∠FAD，
      ∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
      在Rt△DBE与Rt△DCF中，
      {
      DE=DF
      BD=CD
      ，
      ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
      ∴S      △DBE=S△DCF，
      ∴S      四边形ABDC=S四边形AEDF，
      ∵点D是弧BC的中点，∠BAC=60°，
      ∴∠BAD=
      1
      2
      ∠BAC=
      1
      2
      ×60°=30°，
      ∵AD=a，
      ∴AE=AD?cos30°=
      √3
      2
      a，
      DE=AD?sin30?=
      1
      2
      a，
      ∴S      四边形AEDF=2S△ADE=2×
      1
      2
      ×
      √3
      2
      a×
      1
      2
      a=
      √3
      4
      a2．
      故答案为：
      √3
      4
      a2．
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