如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；③PC?OA=OE?PB；④√2CE+PC的值不变．试题及答案-单选题-云返教育

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如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：
①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；
③PC?OA=OE?PB；④

√2

CE+PC的值不变．

试题解答

解：①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E点是AB、BP两边中垂线的交点，
∴E点是△ABP的外心，故①正确；
②如图，连接AE；
由①知：AE=EP=EB，则∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，

∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：

，即PC?OB=OE?BC?PC?OA=OE?BC；
故③错误；
④过E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=

√2

EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=

√2

EC+PC，所以

√2

CE+PC的值不变，故④正确；
因此正确的结论是①②④，故选C．

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九年级上浙教版单选题初学数学

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