• 如图1,直线y=-√33x+√3与两坐标轴交于A、B,以点M(1,0)为圆心,MO为半径作小⊙M,又以点M为圆心、MA为半径作大⊙M交坐标轴于C、D.(1)求证:直线AB是小⊙M的切线.(2)连接BM,若小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移,大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移,问:经过多少秒后,两圆相切?(3)如图2,作直线BE∥x轴交大⊙M于E,过点B作直线PQ,连接PE、PM,使∠EPB=120°,请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系.试题及答案-解答题-云返教育

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      如图1,直线y=-
      3
      3
      x+
      3
      与两坐标轴交于A、B,以点M(1,0)为圆心,MO为半径作小⊙M,又以点M为圆心、MA为半径作大⊙M交坐标轴于C、D.
      (1)求证:直线AB是小⊙M的切线.
      (2)连接BM,若小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移,大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移,问:经过多少秒后,两圆相切?
      (3)如图2,作直线BE∥x轴交大⊙M于E,过点B作直线PQ,连接PE、PM,使∠EPB=120°,请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系.

      试题解答


      见解析
      解:(1)∵直线y=-
      3
      3
      x+
      3
      与两坐标轴交于A、B,∴A(3,0),B(0,
      3
      ),MO=1,
      过M作MF垂直AB于F,

      则∠MFA=∠BOA=90°,
      ∵∠FAM=∠OAB,
      ∴△MFA∽△BOA,
      AM
      AB
      =
      MF
      OB

      ∵A(3,0),B(0,
      3
      ),M(1,0),
      ∴OA=3,OB=
      3
      ,OM=1,
      ∴AM=3-1=2,由勾股定理得:AB=2
      3

      2
      2
      3
      =
      MF
      3

      MF=1=OM,
      ∵MF⊥AB,
      ∴直线AB是小⊙M的切线.

      (2)小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移,圆心M(1,0),则移动t秒后的圆心变为(2t+1,0);
      因为B(0,
      3
      ),M(1,0),
      所以直线BM的解析式为:y=-
      3
      x+
      3

      又因为大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移,圆心M(1,0),则移动t秒后的圆心变为(1+
      1
      2
      t,-
      3
      2
      t),
      ①当两圆外切时,两圆心距离为两圆半径的和即:
      3
      4
      t2+
      9
      4
      t2
      =OM+MA=OA=3,
      解得t=
      3
      秒,
      ②当两圆内切时,两圆心距离为两圆半径的差即:
      3
      4
      t2+
      9
      4
      t2
      =1,
      解得t=
      3
      3
      秒,

      (3)
      如下图作辅助线:ME=2,OB=
      3
      ,在△BCM中,∠BMO=60°,同理∠EMA=60°,
      则∠BME=60°,
      又∵∠EPB=120°,
      ∴∠EPB+∠BME=180°,
      ∴PBME四点共圆,
      ∵BM=ME,
      ∴∠BPM=∠EPM=60°,
      在PM上截取PN=PE,连接NE,
      ∵∠EPM=60°,PE=PN,
      ∴△PNE是等边三角形,
      ∴PE=EN,∠PEN=60°,
      ∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB,
      ∵∠PBE=∠NME(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),
      在△PBE和△NME中
      {
      ∠EPB=∠MNE
      ∠PBE=∠EMN
      PE=EN

      ∴△PBE≌△NME(AAS),
      ∴PB=NM,
      ∴PM=PN+NM=PE+PB.
      ∴PB、PE、PM三者之间的数量关系为:PM=PB+PE.

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