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  • 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC相切；②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．以上判断正确的个数有（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．
      ①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC相切；
      ②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；
      ③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；
      ④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．
      以上判断正确的个数有（　　）

      试题解答

      C
      解：①作AD的中点E，作EG⊥BC于点G，过E作AB的平行线EF，则EF是梯形ABCD的中位线，
      ∴EF=
      1
      2
      （AB+CD）=
      1
      2
      BC=CF，
      ∴∠CEF=∠ECF，
      ∵EF∥CD，
      ∴∠DCE=∠CEF，
      ∵在△DCE和△GCE中，
      {
      ∠DCE=∠ECF
      ∠D=∠CGE
      EC=EC
      ，
      ∴△DCE≌???GCE（AAS），
      ∴EG=DE=
      1
      2
      AD，则以AD为直径的圆与BC相切．
      故命题正确；
      ②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，设以AD为直径的圆的圆心是E，则E是AD的中点，设圆与BC相切与点G，
      则连接EG，则EG⊥BC，且EG=ED．
      ∵在Rt△DCE和Rt△GCE中，
      {
      EG=ED
      EC=EC
      ，
      ∴Rt△DCE≌Rt△GCE（HL），
      ∴CG=CD，
      同理，BG=AB，
      ∴AB+CD=BC，
      取BC的中点，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，
      ∴EF=
      1
      2
      （AB+CD）=
      1
      2
      BC，
      又∵若∠A=90°，则EF⊥AD，
      ∴以BC为直径的圆也与AD相切．故②正确；
      ③需要∠A=90°，故错误．
      ④由面积法，可得以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．正确．
      故正确的是：①②④．故选C．
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