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在正方形ABCD中,E为AD中点,AF丄BE交BE于G,交CD于F,连CG延长交AD于H.下列结论:①CG=CB;②HEBC=14;③EGGF=13;④以AB为直径的圆与CH相切于点G,其中正确的是 .试题及答案-填空题-云返教育
试题详情
在正方形ABCD中,E为AD中点,AF丄BE交BE于G,交CD于F,连CG延长交AD于H.下列结论:
①CG=CB;②
HE
BC
=
1
4
;③
EG
GF
=
1
3
;④以AB为直径的圆与CH相切于点G,其中正确的是
.
试题解答
①②③④
解:连接OG、OC.
∵AF丄BE,
∴∠ABE=∠DAF;
在Rt△ABE和Rt△DAF中,
∵
{
∠ABE=∠DAF
AB=DA
∠BAE=∠ADF=90°
,
∴Rt△ABE≌Rt△DAF(ASA),
∴AE=DF(全等三角形的对应边相等);
又∵E为AD中点,
∴F为DC的中点;
∵O为AB的中点,
∴OC∥AF,
∴OC⊥BE,
∴∠BOC=∠GOC;
在△BOC和△GOC中,
∵
{
OB=OG
∠BOC=∠GOC
OC=CO(公共边)
,
∴△BOC≌△GOC,
∴∠OBC=∠OGC=90°,即OG⊥CH,
∴以AB为直径的圆与CH相切于点G;
故④正确;
∵以AB为直径的圆与CH相切于点G,AB⊥BC,
∴CG=CB;
故①正确;
∵AD∥BC,
∴
HE
BC
=
EG
BG
=
HG
CG
;
∵CG=CB,
∴HG=HE;
又∵E为AD中点,
∴AH=HE=HG,即点H为AE的中点,
∴
HE
BC
=
1
4
AD
AD
=
1
4
;
故②正确;
∵点F是CD的中点,
∴DF=
1
2
AD;
∴AF=
√
5
2
AD(勾股定理);
∵tan∠DAF=
EG
AG
=
DF
AD
=
1
2
,
∴AG=2EG,
∴AE=
√
5
EG=
1
2
AD,
∴EG=
√
5
10
AD,
∴AG=
√
5
5
AD,
∴FG=AF-AG=
3
√
5
10
AD,
∴
EG
GF
=
1
3
;
故③正确;
综上所述,正确的说法有:①②③④.
故答案是:①②③④.
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