• (2011?海淀区一模)如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.(1)证明BF是⊙O的切线;(2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求∠MCF的大小.试题及答案-解答题-云返教育

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      (2011?海淀区一模)如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.
      (1)证明BF是⊙O的切线;
      (2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求∠MCF的大小.

      试题解答


      见解析
      证明:连接OF.
      (1)∵CF⊥OC,
      ∴∠FCO=90°.
      ∵OC=OB,
      ∴∠BCO=∠CBO.
      ∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC.
      即∠FBO=∠FCO=90°.
      ∴OB⊥BF.
      ∵OB是⊙O的半径,
      ∴BF是⊙O的切线(2分)

      (2)∵∠FBO=∠FCO=90°,
      ∴∠MCF+∠ACO=90°,∠M+∠A=90°.
      ∵OA=OC,
      ∴∠ACO=∠A.
      ∴∠FCM=∠M.(3分)

      ∵∠ACB=∠ABM=90°,∠A是公共角,
      ∴△ACB∽△ABM,
      AC
      AB
      =
      AB
      AM

      ∵AB=4,MC=6,
      ∴4
      2=AC(AC+6),
      ∴AC=2(4分)
      ∴AM=8,BM=
      AM2-AB2
      =4
      3

      ∴cos∠MCF=cosM=
      BM
      AM
      =
      3
      2

      ∴∠MCF=30°(5分)

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