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已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,连接OC、BP,过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N.下列结论:①S四边形ABCD=12AB?CD;②AD=AB;③AD=ON;④AB为过O、C、D三点的圆的切线.其中正确的个数有( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别
交过A、B两点的切线于D、C,连接OC、BP,过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N.下列结论:
①S
四边形ABCD
=
1
2
AB?CD;
②AD=AB;
③AD=ON;
④AB为过O、C、D三点的圆的切线.
其中正确的个数有( )
试题解答
C
解:连接OD、AP,
∵DA、DP、BC分别是圆的切线,切点分别是A、P、B,
∴DA=DP,CP=CB,∠A=90°=∠B=∠DPO,
∴AD+BC=DP+CP=CD,
∴S
四边形ABCD
=
1
2
(AD+BC)?AB=
1
2
AB?CD,∴①正确;
∵AD=DP<OD<AB,∴②错误;
∵AB是圆的直径,
∴∠APB=90°,
∵DP=AD,AO=OP,
∴D、O在AP的垂直平分线上,
∴OD⊥AP,
∵∠DPO=∠APB=90°,
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP,
∵OM∥CD,
∴∠POM=∠DPO=90°,
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO,OP=OP,∠DOP=∠OPN,
∴△DPO≌△NOP,
∴ON=DP=AD,∴③正确;
∵AP⊥OD,OA=OP,
∴∠AOD=∠POD,
同理∠BOC=∠POC,
∴∠DOC=
1
2
×180°=90°,
∴△CDO的外接圆的直径是CD,
∵∠A=∠B=90°,
取CD的中点Q,连接OQ,
∵OA=OB,
∴AD∥OQ∥BC,
∴∠AOQ=90°,
∴④正确.
故选C.
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