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已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=α(定值),圆O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q.(1)求∠POQ的大小(用α表示);(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与圆O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由;(3)在(2)的条件下,如果AB=m(m为已知数),cosα=35,设AD=x,DE=y,求y关于x的函数解析式(要指出函数的定义域)试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=α(定值),圆O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q.
(1)求∠POQ的大小(用α表示);
(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与圆O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果AB=m(m为已知数),cosα=
3
5
,设AD=x,DE=y,求y
关于x的函数解析式(要指出函数的定义域)
试题解答
见解析
解:(1)∵AC=BC,
∴∠OAP=∠OBQ=α
∵圆O分别和AC、BC相切于点P、Q,
∴∠OPA=∠OQB=90°,(1分)
∴∠AOP=∠BOQ=90°-α(1分)
∴∠POQ=180°-2(90°-a)=2α(1分)
(2)∠DOE的大小保持不变,(1分)
说明理由如下:
连接OM,由切线长定理,EM=EQ
又∵OM=OQ,OE=OE,
∴△OEM≌△OEQ,
∴∠MOE=∠QOE(1分)
同理,∠MOD=∠POD(1分)
∴∠DOE=
1
2
(∠POM+∠QOM)=
1
2
(360°-∠POQ)=180°-a,
∵a为定值,
∴∠DOE的大小保持不变.
(3)由OP=OQ,并根据等腰三角形的性质,得O是AB的中点,
即OA=OB=
1
2
AB=
m
2
,
AP=BQ=AO?cosa=
3
10
m,DM=DP=
3
10
m+x(1分)
在△ADO和△BOE中,∠DAO=∠OBE=180°-α
∵∠ADO+∠AOD=∠OAP=α,
又∵∠BOE+∠AOD=180°-∠DOE=α,
∴∠ADO=∠BOE,于是△ADO∽△BOE(1分)
∴
BE
AO
=
AD
BO
,BE=
AO?BO
AD
=
m
2
4x
(1分)
∴ME=QE=QB+BE=
3
10
m+
m
2
4x
(1分)
∴DE=DM+ME=
3
10
m+x+
3
10
m+
m
2
4x
=x+
m
2
4x
+
3
5
m
因此所求的函数解析为y=x+
m
2
4x
+
3
5
m(x>0).(1分)
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