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  • 直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-34x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．（1）①填空：⊙A的半径为 ，b= ．（不需写解答过程）②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．（2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求GFEG的值．（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-
      3
      4
      x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
      （1）①填空：⊙A的半径为                ，b=          ．（不需写解答过程）
      ②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．
      （2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求
      GF
      EG
      的值．
      （3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

      试题解答

      5:7
      （1）①解：连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，
      则AQ=4-1=3，MQ=4，
      由勾股定理得：AM=
      √MQ2+AQ2
      =5，
      把M（4，4）代入y=-
      3
      4
      x+b得：4=-
      3
      4
      ×4+b，
      ∴b=7，
      故答案为：5，7．

      ②解：相切，
      理由是：连接AF，
      y=-
      3
      4
      x+7，
      当x=0时，y=7，∴C（0，7），OC=7，
      当y=0时，0=-
      3
      4
      x+7，
      ∴x=
      28
      3
      ，
      ∴B（
      28
      3
      ，0），OB=
      28
      3
      ，
      ∴BQ=OB-OQ=
      28
      3
      -4=
      16
      3
      ，AQ=4-1=3，MQ=4，
      ∴
      BQ
      MQ
      =
      16
      3
      4
      =
      4
      3
      ，
      MQ
      AQ
      =
      4
      3
      ，
      ∴
      BQ
      MQ
      =
      MQ
      AQ
      ，
      ∵∠MQA=∠MQB，
      ∴△AMQ∽△MBQ，
      ∴∠MAQ=∠BMQ，
      ∵∠MAQ+∠AMQ=90°，
      ∴∠AMQ+∠BMQ=90°，
      ∴AM⊥BC，
      ∴直线BC与⊙A的位置关系是相切．
      （2）解：连接AC，
      在△COB中，由勾股定理得：BC=
      √OC2+OB2
      =
      35
      3
      ，
      同理AC=5
      √2
      ，
      ∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，
      设EG=a，
      ∵EF⊥BC，
      ∴∠FEB=∠COB=90°，
      ∵∠OBC=∠OBC，
      ∴△BEG∽△BOC，
      ∴
      BE
      EG
      =
      OB
      OC
      ，
      即
      BE
      a
      =
      28
      3
      7
      ，
      ∴BE=
      4
      3
      a，
      ∴根据切线长定理得：EM=EF=BC-BE-CM=
      35
      3
      -
      4
      3
      a-5，
      ∵EF⊥CB，AF⊥EF，
      ∴AF∥BC，
      ∴△AFG∽△BEG，
      ∴
      AF
      BE
      =
      FG
      EG
      ，
      ∴
      5
      4
      3
      a
      =
      FG
      a
      ，
      ∴FG=
      15
      4
      ，
      ∵BE+EM+CM=BC，
      ∴
      4
      3
      a+a+
      15
      4
      +5=
      35
      3
      ，
      a=
      5
      4
      ，
      EG=
      5
      4
      ，FG=
      15
      4
      ，
      ∴
      GF
      EG
      =
      15
      4
      5
      4
      =3．
      （3）解：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，由对称性M，P关于X轴对称，
      所以Q，O重合，Q（0，0）；
      ②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，
      可得△MHQ≌△MDP，
      即P是圆与x正半轴交点
      从而Q（0，2）；
      ③当∠QPM=90°时，分两种情况：
      第一情况：P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
      ①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）      2+n2=52，
      解方程组得，b=2，b=-8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
      第二情况：P在y的右方，同理得：
      ①m-4=n-b，②4-n=m，③（1-m）      2+n2=52，
      解方程组得，b=3+
      √41
      （舍），b=3-
      √41
      ．
      综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-
      √41
      ）．
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