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(2012?衡阳)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<103)秒.解答如下问题:(1)当t为何值时,PQ∥BO?(2)设△AQP的面积为S,①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2-x1,y2-y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
(2012?衡阳)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<
10
3
)秒.解答如下问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BO?
(2)设△AQP的面积为S,
①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则新坐标(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.
试题解答
见解析
解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,
∴AB=
√
OB
2
+OA
2
=
√
6
2
+8
2
=10.
如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10-3t.
∵PQ∥BO,
∴
AP
AB
=
AQ
AO
,即
10-3t
10
=
2t
8
,
解得t=
20
11
,
∴当t=
20
11
秒时,PQ∥BO.
(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.
①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO,
∴
AP
AB
=
PD
OB
,即
10-3t
10
=
PD
6
,解得PD=6-
9
5
t.
S=
1
2
AQ?PD=
1
2
?2t?(6-
9
5
t)=6t-
9
5
t
2
=-
9
5
(t-
5
3
)
2
+5,
∴S与t之间的函数关系式为:S=-
9
5
(t-
5
3
)
2
+5(0<t<
10
3
),
当t=
5
3
秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位).
②如图②所示,当S取最大值时,t=
5
3
,
∴PD=6-
9
5
t=3,
∴PD=
1
2
BO,
又∵PD∥BO,
∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=
1
2
OA=4,
∴P(4,3).
又∵AQ=2t=
10
3
,
∴OQ=OA-AQ=
14
3
,∴Q(
14
3
,0).
依题意,“向量PQ”的坐标为(
14
3
-4,0-3),即(
2
3
,-3).
∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(
2
3
,-3).
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