• (2012?衡阳)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<103)秒.解答如下问题:(1)当t为何值时,PQ∥BO?(2)设△AQP的面积为S,①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2-x1,y2-y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.试题及答案-解答题-云返教育

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      (2012?衡阳)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<
      10
      3
      )秒.解答如下问题:
      (1)当t为何值时,PQ∥BO?
      (2)设△AQP的面积为S,
      ①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
      ②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x
      1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2-x1,y2-y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.

      试题解答


      见解析
      解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,
      ∴AB=
      OB2+OA2
      =
      62+82
      =10.
      如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10-3t.
      ∵PQ∥BO,
      AP
      AB
      =
      AQ
      AO
      ,即
      10-3t
      10
      =
      2t
      8

      解得t=
      20
      11

      ∴当t=
      20
      11
      秒时,PQ∥BO.

      (2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.

      ①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO,
      AP
      AB
      =
      PD
      OB
      ,即
      10-3t
      10
      =
      PD
      6
      ,解得PD=6-
      9
      5
      t.
      S=
      1
      2
      AQ?PD=
      1
      2
      ?2t?(6-
      9
      5
      t)=6t-
      9
      5
      t2=-
      9
      5
      (t-
      5
      3
      2+5,
      ∴S与t之间的函数关系式为:S=-
      9
      5
      (t-
      5
      3
      2+5(0<t<
      10
      3
      ),
      当t=
      5
      3
      秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位).
      ②如图②所示,当S取最大值时,t=
      5
      3

      ∴PD=6-
      9
      5
      t=3,
      ∴PD=
      1
      2
      BO,
      又∵PD∥BO,
      ∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=
      1
      2
      OA=4,
      ∴P(4,3).
      又∵AQ=2t=
      10
      3

      ∴OQ=OA-AQ=
      14
      3
      ,∴Q(
      14
      3
      ,0).
      依题意,“向量PQ”的坐标为(
      14
      3
      -4,0-3),即(
      2
      3
      ,-3).
      ∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(
      2
      3
      ,-3).
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