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  • 已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求APPC的值；（2）如图2，当OA=OB，且ADAO=14时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：2√n时，直接写出tan∠BPC的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
      （1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求
      AP
      PC
      的值；
      （2）如图2，当OA=OB，且
      AD
      AO
      =
      1
      4
      时，求tan∠BPC的值．
      （3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：2
      √n
      时，直接写出tan∠BPC的值．

      试题解答

      见解析

      解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，
      ∵D为OA中点，
      ∴AE=CE=
      1
      2
      AC，
      DE
      CO
      =
      1
      2
      ，
      ∵点C为OB中点，
      ∴BC=CO，
      DE
      BC
      =
      1
      2
      ，
      ∴
      PE
      PC
      =
      DE
      BC
      =
      1
      2
      ，
      ∴PC=
      2
      3
      CE=
      1
      3
      AC，
      ∴
      AP
      PC
      =
      AC-PC
      PC
      =
      2
      3
      AC
      1
      3
      AC
      =2；

      （2）过点D作DE∥BO交AC于E，
      ∵
      AD
      AO
      =
      1
      4
      ，
      ∴
      DE
      CO
      =
      AE
      AC
      =
      1
      4
      ，
      ∵点C为OB中点，
      ∴
      DE
      BC
      =
      1
      4
      ，
      ∴
      PE
      PC
      =
      DE
      BC
      =
      1
      4
      ，
      ∴PC=
      4
      5
      CE=
      3
      5
      AC，
      过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，
      ∵OA=OB，点C为OB中点，
      ∴CO=2a，
      在Rt△ACO中，AC=
      √AO2+CO2
      =
      √(4a)2+(2a)2
      =2
      √5
      a，
      又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
      ∴
      AF
      AO
      =
      DF
      CO
      =
      AD
      AC
      =
      a
      2
      √5
      a
      ，
      ∴AF=
      2
      √5
      5
      a，DF=
      √5
      5
      a，
      PF=AC-AF-PC=2
      √5
      a-
      2
      √5
      5
      a-
      3
      5
      ×2
      √5
      a=
      2
      √5
      5
      a，
      tan∠BPC=tan∠FPD=
      DF
      PF
      =
      1
      2
      ．

      （3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=
      √n+1
      n+1
      a，
      PF=
      √n2+n
      n+1
      a，所以tan∠BPC=
      √n
      n
      ．
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