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  • 如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）．
      （1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
      （2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
      （3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，
      则AB=
      √BG2+GA2
      =
      √122+(15-10)2
      =
      √169
      =13．
      过Q作QH⊥OA于H，
      则QP=
      √QH2+PH2
      =
      √122+(10-t-2t)2
      =
      √144+(10-3t)2
      ．
      要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP，
      即
      √144+(10-3t)2
      =13．
      ∴t=
      5
      3
      ，或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）；
      ∴t=
      5
      3
      ．

      （2）当t=2时，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
      ∵CB∥DE∥OF，
      ∴
      QB
      AF
      =
      QE
      EF
      =
      QD
      DP
      =
      QB
      OP
      =
      2
      4
      =
      1
      2
      ．
      ∴AF=2QB=2×2=4．
      ∴OF=15+4=19．
      ∴S      梯形OFBC=
      1
      2
      （10+19）×12=174．

      （3）①当QP=PF时，则
      √122+(10-t-2t)2
      =15+2t-2t，
      ∴t=
      1
      3
      或t=
      19
      3
      ．
      ②当QP=QF时，则
      √122+(10-t-2t)2
      =
      √122+FH2
      =
      √122+[15+2t-(10-t)]2
      ，
      即
      √122+(10-3t)2
      =
      √122+(5+3t)2
      ，
      ∴t=
      5
      6
      ．
      ③当QF=PF时，则
      √122+(5+3t)2
      =15，
      ∴t=
      4
      3
      或t=-
      14
      3
      ，
      综上，当t=
      1
      3
      ，t=
      19
      3
      ，t=
      5
      6
      ，t=
      4
      3
      时，△PQF是等腰三角形．
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