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  • 锐角△ABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG三条直线相交于一点．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      锐角△ABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG三条直线相交于一点．

      试题解答

      见解析
      解：证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN?CB，BD2=BM?BC

      ∴
      CN
      BM
      =
      CE2
      BD2
      又Rt△CNG∽Rt△CDB，Rt△BMF∽Rt△BEC，
      ∴GN=
      BD
      CD
      ?CN，FM=
      CE
      BE
      ?BM
      ∴
      GN
      FM
      =
      BD?BE
      CD?CE
      ?
      CN
      BM
      =
      BD?BE
      CD?CE
      ?
      CE2
      BD2
      =
      BE?CE
      BD?CD
      (1)
      在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE?CE=EN?BC，BD?CD=DM?BC
      ∴
      BE?CE
      BD?CD
      =
      EN
      DM
      =
      TN
      TM
      (2)
      由（1）（2）得：
      GN
      FM
      =
      TN
      TM
      ，又GN∥FM，∴F、G、T三点共线．

      证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN

      ∴
      DF
      FM
      =
      AH
      HR
      =
      EG
      GN

      由合比定理得：
      DM
      FM
      =
      EN
      GN
      ，∴
      GN
      FM
      =
      EN
      DM
      =
      TN
      TM
      ，故F、G、T三点共线．

      证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
      BT
      TC
      ?
      CE
      EA
      ?
      AD
      DB
      =1(1)
      设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
      ∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG
      ∴
      CE
      EA
      =
      CG
      GH
      ，
      AD
      DB
      =
      HF
      FB
      ，代入(1)得
      BT
      TC
      ?
      CG
      GH
      ?
      HF
      FB
      =1
      由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线．
      证法4：连接FT交EN于G’，易知
      DF
      FM
      =
      EG′
      G′N

      为了证明F、G、T三点共线，只需证明
      DF
      FM
      =
      EG
      GN
      即可
      ∵
      DF
      FM
      =
      S△BDF
      S△BMF
      =
      1
      2
      BD?BFsin∠ABE
      1
      2
      BM?BFsin∠CBE
      =
      BD
      BM
      ?
      sin∠ABE
      sin∠CBE
      EG
      GN
      =
      S△CEG
      S△CMG
      =
      1
      2
      CE?CGsin∠ACD
      1
      2
      CN?CGsin∠BCD
      =
      CE
      CN
      ?
      sin∠ACD
      sin∠BCD

      又
      BD
      BM
      =
      BC
      BD
      ，
      CE
      CN
      =
      BC
      CE

      ∴
      DF
      FM
      =
      BCsin∠ABE
      BDsin∠CBE
      ，
      EG
      GN
      =
      BCsin∠ACD
      CEsin∠BCD
      (1)
      ∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
      ∴∠ABE=∠ACD （2）
      又
      BD
      sin∠BCD
      =BC=
      CE
      sin∠CBE
      ，∴BDsin∠CBE=CEsin∠BCD（3）
      将（2）（3）代入（1）得：
      DF
      FM
      =
      EG
      GN
      ，故F、G、T三点共线．
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