• 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6.(1)求边AD、BC的长;(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.试题及答案-解答题-云返教育

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      如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6.
      (1)求边AD、BC的长;
      (2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.

      试题解答


      见解析
      (1)方法1:过D作DF⊥BC于F,
      在Rt△DFC中,DF=AB=8,FC=BC-AD=6,
      ∴DC
      2=62+82=100,即DC=10.(1分)
      设AD=x,则DE=AD=x,EC=BC=x+6,
      ∴x+(x+6)=10.
      ∴x=2.
      ∴AD=2,BC=2+6=8.(4分)
      方法2:连OD、OE、OC,
      由切线长定理可知∠DOC=90°,AD=DE,CB=CE,
      设AD=x,则BC=x+6,
      由射影定理可得:OE
      2=DE?EC.(2分)
      即:x(x+6)=16,
      解得x
      1=2,x2=-8,(舍去)
      ∴AD=2,BC=2+6=8.(4分)

      (2)存在符合条件的P点.
      设AP=y,则BP=8-y,△ADP与△BCP相似,有两种情况:
      ①△ADP∽△BCP时,
      ∴y=;(6分)
      ②△ADP∽△BPC时,
      ∴y=4.(7分)
      故存在符合条件的点P,此时AP=
      或4.(8分)
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