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如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1分别交x轴,y轴于点A,B,过点B作BC⊥AB交x轴于点C,过点C作CD⊥BC交y轴于点D,过点D作DE⊥CD交轴于点x E,过点E作EF⊥DE交y轴于点F.已知点A恰好是线段EC的中点,那么线段EF的长是 .试题及答案-填空题-云返教育
试题详情
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1分别交x轴,y轴于点A,B,过点B作BC⊥AB交x轴于点C,过点C作CD⊥BC交y轴于点D,过点D作DE⊥CD交轴于点x E,过点E作EF⊥DE交y轴于点F.已知点A恰好是线段EC的中点,那么线段EF的长是
.
试题解答
根据解析式确定A、B两点的坐标,利用直角三角形和射影定理,最后用中位线定理计算出结果.
因为AB的解析式为y=kx+1,所以B点坐标为(0,1),A点坐标为(-
,0),
由于图象过一、二、三象限,故k>0,
又因为BC⊥AB,BO⊥AC,
所以在Rt△ABC中,BO
2
=AO?CO,代入数值为:1=
?CO,CO=k,
同理,在Rt△BCD中,CO
2
=BO?DO,
代入数值为:k
2
=1?DO,DO=k
2
又因为A恰好是线段EC的中点,所以B为FD的中点,OF=1+1+k
2
,Rt△FED中,
根据射影定理,EO
2
=DO?OF,即(k+
+
)
2
=k
2
?(1+k
2
+1),
整理得(k-
)(k+
)(k
2
+2)(k
2
+1)=0,解得k=
.
根据中位线定理,EF=2GB=2DC,DC=
=
,EF=2
.
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