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  • 在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
      （1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
      （2）求点D的坐标；
      （3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      （1）令二次函数y=ax2+bx+c，
      则      ，
      ∴      ，
      ∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=-      x2-x+2．

      （2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（-      ，0），
      ∴O′C=      ，
      OO′=      ；
      ∵CD为⊙O′切线
      ∴O′C⊥CD，
      ∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，
      ∴∠CO'O=∠DCO，
      ∴△O'CO∽△CDO，
      ∴      =，即=，
      ∴OD=      ，
      ∴D坐标为（      ，0）．

      （3）存在，
      抛物线对称轴为x=-      ，
      设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（-      +r，|r|）或F（--r，r），
      而E点在抛物线y=-      x2-x+2上，
      ∴r=-      （-+r）2-（-+r）+2；
      ∴r      1=-1+，r2=-1-（舍去）；
      故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为      ．
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      九年级上册华师大版解答题初三数学

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