钉子进入沙堆的深浅；高度；c；d
解：（1）通过小明设计的实验可以知道，他是通过比较钉子进入沙堆的深浅来比较重力势能的大小的．钉子进入沙堆越深说明物体小方桌做的功越多，它原来具有的重力势能越大．
（2）比较图中a和b可知，两次实验所用的物体质量相同，物体所处的高度不同，说明图中a和b是研究重力势能的大小与高度的关系的．
（3）根据控制变量法，要验证重力势能的大小与质量有关，应控制物体的高度相同，改变物体质量的大小，符合条件的是c和d．
故答案为：
（1）钉子进入沙堆的深浅；（2）质量不变；高度；（3）c；d．
