回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展．（1）当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程．若碳11的半衰期τ为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果取2位有效数字）（2）回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中．若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速）（3）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展．
（1）当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程．若碳11的半衰期τ为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果取2位有效数字）
（2）回旋加速器的原理如图，D₁和D₂是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D₁圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D₁、D₂置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中．若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速）
（3）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？

试题解答

见解析

（1）核反应方程为₇¹⁴N+₁¹H→₆¹¹C+₂⁴He…①
设碳11原有质量为m，经过t=2.0h剩余的质量为m_t，根据半衰期定义，有：

…②
（2）设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知：

…③
质子运动的回旋周期为：

…④
由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系可得：

…⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率

…⑥
输出时质子束的等效电流为：

…⑦
由上述各式得

（3）方法一：
设k（k∈N^*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k，v_k+1，D₁、D₂之间的电压为U，
由动能定理知

…⑧
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知

，
则

…⑨
整理得

…⑩
因U、q、m、B均为定值，令

，由上式得

…（11）
相邻轨道半径r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理

因为r_k+2＞r_k，比较△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小
方法二：
设k（k∈N*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k，v_k+1，D₁、D₂之间的电压为U
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知