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已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若对任意的x
1
,x
2
∈[1,a+1],总有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤4,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=(x-a)
2
+5-a
2
(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a],
∴
{
f(1)=a
f(a)=1
,
即
{
1-2a+5=a
a
2
-2a
2
+5=1
,解得a=2.
(2)若a≥2,又x=a∈[1,a+1],且,(a+1)-a≤a-1
∴f(x)
max
=f(1)=6-2a,f(x)
min
=f(a)=5-a
2
.
∵对任意的x
1
,x
2
∈[1,a+1],总有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤4,
∴f(x)
max
-f(x)
min
≤4,即(6-2a)-(5-a
2
)≤4,解得-1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1<a<2,f
max
(x)=f(a+1)=6-a
2
,f(x)
min
=f(a)=5-a
2
,
f(x)
max
-f(x)
min
≤4显然成立,综上1<a≤3.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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