（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．试题及答案-解答题-云返教育

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（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（I）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．

试题解答

见解析

解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，AB=2

√2

a，M是AB的中点，
所以DE=3a，EM=

√3

a，MD=

√6

a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以MF=

EM?MD

√2

a．
在Rt△CMF中，tan∠FCM=

=1，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为

=(-a，a，-a)，

=(a，a，0)，
所以

=0，故EM⊥CM．

（II）解：设向量n=（1，y₀，z₀）与平面CDE垂直，则n⊥

，n⊥

，
即n?

=0，n?

=0．
因为

=(2a，0，a)，

=(0，2a，2a)，
所以y₀=2，x₀=-2，
cos?n，

＞=

|?|n|

√2

，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与

夹角的余角，
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．

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必修2 人教A版解答题高中数学

（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．试题及答案-解答题-云返教育

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