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  • （2005?天津）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F???别是棱B1C1、A1A的中点（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角；（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC；（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2005?天津）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F???别是棱B1C1、A1A的中点
      （Ⅰ）求A      1A与底面ABC所成的角；
      （Ⅱ）证明A      1E∥平面B1FC；
      （Ⅲ）求经过A      1、A、B、C四点的球的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H．
      连接AH，并延长交BC于G，于是∠A      1AH为A1A与底面ABC所成的角．
      ∵∠A      1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．
      又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
      因此，由三垂线定理A      1A⊥BC．
      ∵A      1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC．
      于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
      即∠AGE．
      由于四边形A      1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°．

      （Ⅱ）证明：设EG与B      1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
      在平行四边形AGEA      1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP．
      而FP?平面B      1FC，A1E?平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC．
      （Ⅲ）连接A      1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
      则△A      1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
      又∵A      1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
      设所求球的球心为O，则O∈A      1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
      在Rt△A      1FO中，A1O=
      A1F
      cosAA1H
      =
      1
      2
      a
      cos30°
      =
      √3
      a
      3
      ．
      故所求球的半径R=
      √3
      3
      a，球的体积V=
      4
      3
      πR3=
      4
      √3
      27
      πa3．
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