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(2005?天津)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E、F???别是棱B1C1、A1A的中点(Ⅰ)求A1A与底面ABC所成的角;(Ⅱ)证明A1E∥平面B1FC;(Ⅲ)求经过A1、A、B、C四点的球的体积.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
(2005?天津)如图,在斜三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠A
1
AB=∠A
1
AC,AB=AC,A
1
A=A
1
B=a,侧面B
1
BCC
1
与底面ABC所成的二面角为120°,E、F???别是棱B
1
C
1
、A
1
A的中点
(Ⅰ)求A
1
A与底面ABC所成的角;
(Ⅱ)证明A
1
E∥平面B
1
FC;
(Ⅲ)求经过A
1
、A、B、C四点的球的体积.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)过A
1
作A
1
H⊥平面ABC,垂足为H.
连接AH,并延长交BC于G,于是∠A
1
AH为A
1
A与底面ABC所成的角.
∵∠A
1
AB=∠A
1
AC,∴AG为∠BAC的平分线.
又∵AB=AC,∴AG⊥BC,且G为BC的中点.
因此,由三垂线定理A
1
A⊥BC.
∵A
1
A∥B
1
B,且EG∥B
1
B,∴EG⊥BC.
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角,
即∠AGE.
由于四边形A
1
AGE为平行四边形,得∠A
1
AG=60°.
(Ⅱ)证明:设EG与B
1
C的交点为P,则点P为EG的中点.连接PF.
在平行四边形AGEA
1
中,因F为A
1
A的中点,故A
1
E∥FP.
而FP?平面B
1
FC,A
1
E?平面B
1
FC,所以A
1
E∥平面B
1
FC.
(Ⅲ)连接A
1
C.在△A
1
AC和△A
1
AB中,由于AC=AB,∠A
1
AB=∠A
1
AC,A
1
A=A
1
A,
则△A
1
AC≌△A
1
AB,故A
1
C=A
1
B.由已知得A
1
A=A
1
B=A
1
C=a.
又∵A
1
H⊥平面ABC,∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O,则O∈A
1
H,且球心O与A
1
A中点的连线OF⊥A
1
A.
在Rt△A
1
FO中,A
1
O=
A
1
F
cosAA
1
H
=
1
2
a
cos30°
=
√
3
a
3
.
故所求球的半径R=
√
3
3
a,球的体积V=
4
3
πR
3
=
4
√
3
27
πa
3
.
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