（2010?浦东新区二模）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若直线AM与平面ABC所成的角为π4，求多面体ABM-A1B1C1的体积．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

（2010?浦东新区二模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直线AM与平面ABC所成的角为

，求多面体ABM-A₁B₁C₁的体积．

见解析

解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）

=(-2，2，h)，

A₁C

=(0，2，-4)（2分）
由BM⊥A₁C得，

A₁C

=0，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由题意知，平面ABC的一个法向量为

=(0，0，1)，

=(0，2，h)（2分）
因为直线AM与平面ABC所成的角为

，所以

√2

√4+h²

解得h=2（2分）
三棱锥M-ABC的体积V_M-ABC=

S_△ABC?MC=

三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积V=S_△ABC?CC₁=8（2分）
所以多面体ABM-A₁B₁C₁的体积V_{ABM-A₁B₁C₁}=8-

（2分）

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