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  • （2014?南昌一模）在三棱锥C-ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=√34；⑤四面体ABCD的外接球面积为32π．其中真命题是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （2014?南昌一模）在三棱锥C-ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：
      ①AC⊥BD；
      ②AD⊥CO；
      ③△AOC为正三角形；
      ④cos∠ADC=
      √3
      4
      ；
      ⑤四面体ABCD的外接球面积为32π．
      其中真命题是（　　）

      试题解答

      D
      解：∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，
      ∴OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=
      1
      2
      BD，
      又∵0A∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，
      则AC⊥BD，即①正确；
      由二面角A-BD-C的大小为60°得，∠AOC=60°，
      ∵OC=OA，∴△AOC为正三角形，即③正确；
      假设AD⊥CO，由OC⊥BD，且AD∩BD=D得，OC⊥平面ABD，
      ∴0A⊥OC，这与∠AOC=60°矛盾，故②不正确；
      由AB=4得，AD=CD=4，且AC=OC=OA=2
      √2
      ，
      ∴cos∠ADC=
      AD2+CD2-AC2
      2AD?CD
      =
      42+42-(2
      √2
      )2
      2×4×4
      =
      3
      4
      ，
      故④不正确；
      由OA=OB=OC=OD得，四面体ABCD的外接球的球心是O，且半径r=2
      √2
      ，
      ∴四面体ABCD的外接球的面积为32π，故⑤正确，
      故选D．
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      必修2人教A版单选题高中数学

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