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  • 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影???求证：（1）O为△ABC的垂心；（2）O在△ABC内；（3）设SO=h，则1a2+1b2+1c2=1h2．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影???
      求证：（1）O为△ABC的垂心；
      （2）O在△ABC内；
      （3）设SO=h，则
      1
      a2
      +
      1
      b2
      +
      1
      c2
      =
      1
      h2
      ．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，
      ∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
      而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
      同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
      （2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
      则底面三角形ABC中，AB=
      √a2+b2
      为最大，从而∠ACB为最大角．
      用余弦定理求得cos∠ACB=
      2c2
      2
      √b2+c2
      √a2+c2
      ＞0，
      ∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
      （3）SB?SC=BC?SD，
      故SD=
      bc
      √b2+c2
      ，
      1
      SD2
      =
      1
      b2
      +
      1
      c2
      ，又SA?SD=AD?SO，
      ∴
      1
      SO2
      =
      AD2
      a2?SD2
      =
      a2+SD2
      a2?SD2
      =
      1
      a2
      +
      1
      SD2
      =
      1
      a2
      +
      1
      b2
      +
      1
      c2
      =
      1
      h2
      ．
      标签
      必修2人教A版解答题高中数学

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