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  • 如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA=BC=1，截面EFGH分别平行于PA，BC（点E，F，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上）（1）求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；（2）设PA与BC所成角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA=BC=1，截面EFGH分别平行于PA，BC（点E，F，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上）
      （1）求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；
      （2）设PA与BC所成角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵PA∥平面EFGH，PA?平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH
      ∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，
      同理得到EF∥HG，
      ∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，
      因此，四边形EFGH为平行四边形．
      ∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
      且PA=BC=1，
      ∴
      EH
      AP
      =
      EB
      AB
      ①，
      EF
      BC
      =
      AE
      AB
      ②，
      则①+②得，
      EH
      AP
      +
      EF
      BC
      =
      EB+AE
      AB
      =1
      ∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，
      ∴四边形EFGH的周长=2，故四边形EFGH的周长为定值．
      2）∵PA与BC所成角为θ，
      ∴平行四边形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，
      可得截面EFGH的面积S=HE?EF?sin∠EGE=HE?EF?sinθ，
      设
      EH
      AP
      =
      EB
      AB
      =λ，则
      EF
      BC
      =
      AE
      AB
      =1-λ，
      ∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，
      则S=λ（1-λ）sinθ≤(
      λ+1-λ
      2
      )2sinθ=
      1
      4
      sinθ，
      当且仅当λ=
      1
      2
      等号成立，
      由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为
      1
      4
      sinθ．
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