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  • 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=13AB1，BN=13BC1，则下列结论①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN中，正确命题的个数是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=
      1
      3
      AB1，BN=
      1
      3
      BC1，则下列结论①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN中，正确命题的个数是（　　）

      试题解答

      C
      解；在正方体ABCD-A1B1C1D1的四条棱A1A，B1B，C1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，
      使AG=
      1
      3
      A1A，BF=
      1
      3
      B1B，CE=
      1
      3
      C1C，DH=
      1
      3
      D1D，连接GF，FE，EH，HG，
      ∵点M、N分别在AB      1、BC1上，且AM=
      1
      3
      AB1，BN=
      1
      3
      BC1，
      ∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A      1B1C1D1，
      ∵AA      1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，∵MN?平面GFEH，∴AA1⊥MN，∴①正确．
      ∵A      1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A1C1与MN不平行，∴②错误．
      ∵平面GFEH∥平面A      1B1C1D1，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，∴③正确．
      ∵B      1D1⊥FH，FH?平面GFEH，MN?平面GFEH，B1D1?平面A1B1C1D1，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，
      且MN与FH不平行，∴B      1D1不可能垂直于MN，∴④错误
      ∴正确命题只有①③
      故选C
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