• 如图,在直四棱柱(侧棱与底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,给出以下结论:(1)异面直线A1B1与CD1所成的角为45°;(2)D1C⊥AC1;(3)在棱DC上存在一点E,使D1E∥平面A1BD,这个点为DC的中点;(4)在棱AA1上不存在点F,使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的15.其中正确的个数有( )试题及答案-单选题-云返教育

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      如图,在直四棱柱(侧棱与底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,给出以下结论:
      (1)异面直线A
      1B1与CD1所成的角为45°;
      (2)D
      1C⊥AC1
      (3)在棱DC上存在一点E,使D
      1E∥平面A1BD,这个点为DC的中点;
      (4)在棱AA
      1上不存在点F,使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的
      1
      5

      其中正确的个数有(  )

      试题解答


      C
      解:(1)由题意可知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,所以△DD1C1是等腰直角三角形,A1B1∥C1D1,异面直线A1B1与CD1所成的角为45°,所以(1)正确.
      (2)由题意可知,AD⊥平面DD
      1C1C,四边形DD1C1C是正方形,所以D1C⊥DC1
      可得D
      1C⊥AC1;(2)正确;
      对于(3)在棱DC上存在一点E,使D
      1E∥平面A1BD,这个点为DC的中点,因为
      DC=DD
      1=2AD=2AB,如图HG
      1
      2
      D1E,所以E为中点,正确.
      (4)设AB=1,则棱柱的体积为:
      1+2
      2
      ×1×1=
      3
      2
      ,当F在A1时,A1-BCD的体积为:
      1
      3
      ×
      1
      2
      ×1×2×1=
      1
      3
      ,显然体积比为
      2
      9
      1
      5
      ,所以在棱AA1上存在点F,使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的
      1
      5
      ,所以(4)不正确.
      正确结果有(1)、(2)、(3).
      故选C.

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