• 直线l:y=mx+1,双曲线C:3x2-y2=1,问是否存在m的值,使l与C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点.试题及答案-解答题-云返教育

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      直线l:y=mx+1,双曲线C:3x2-y2=1,问是否存在m的值,使l与C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点.

      试题解答


      见解析
      假设存在m值满足条件,
      设A、B坐标分别为???x
      1,y1)(x2,y2),
      得:(3-m2)x2-2mx-2=0,
      则3-m
      2≠0,且△=4m2-4(3-m2)(-2)>0,得m2<6且m2≠3①,
      由韦达定理有:

      因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB,即
      ,即x1x2+y1y2=0,
      所以x
      1x2+(mx1+1)(mx2+1)=0,即(1+m2)x1x2+m(x1+x2)+1=0,
      所以(1+m
      2+m+1=0,解得m=±1,
      故存在m=1或m=-1使l与C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点.
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