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  • 设椭圆x2a2+y2b2=1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（　　）

      试题解答

      B
      解：由于点P是椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1和上的在第一象限内的点，
      设P为（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜π），
      这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
      对于三角形OAP有面积S      1=
      1
      2
      absinα，对于三角形OBP有面积S2=
      1
      2
      abcosα
      ∴四边形的面积S=S      1+S2=
      1
      2
      ab（sinα+cosα）
      =
      √2
      2
      absin（a+
      π
      4
      ）
      其最大值就应该为
      √2
      2
      ab，
      并且当且仅当a=
      π
      4
      时成立．所以，面积最大值
      √2
      2
      ab．
      故选B．
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