• 如图,F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该椭圆的离心率为( )试题及答案-单选题-云返教育

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      如图,F1,F2分别是椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该椭圆的离心率为(  )

      试题解答


      C
      解:连结AF1
      ∵F
      1F2是圆O的直径,∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2
      又∵△F
      2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,
      ∴∠AF
      1F2=
      1
      2
      ∠AF2B=30°,
      因此,在Rt△F
      1AF2中,|F1F2|=2c,|F1A|=
      1
      2
      |F1F2|=c,|F2A|=
      3
      2
      |F1F2|=
      3
      c.
      根据椭圆的定义,得2a=|F
      1A|+|F2A|=(1+
      3
      )c,解得a=
      1+
      3
      2
      c,
      ∴椭圆的离心率为e=
      c
      a
      =
      3
      -1.
      故选C.
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