• 已知曲线C上任意一点到两定点F1(-√3,0)、F2(√3,0)的距离之和是4,且曲线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点,则△AOB的面积的最小值为( )试题及答案-单选题-云返教育

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      已知曲线C上任意一点到两定点F1(-
      3
      ,0)、F2(
      3
      ,0)的距离之和是4,且曲线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点,则△AOB的面积的最小值为(  )

      试题解答


      D
      解:∵曲线C上任意一点到两定点F1(-
      3
      ,0)、F2(
      3
      ,0)的距离之和是4,
      ∴C的轨迹是以
      F1(-
      3
      ,0)、F2(
      3
      ,0)为焦点的椭圆,且2a=4,c=
      3

      ∴a=2,b=1,
      ∴曲线C的方程为
      x2
      4
      +y2=1,
      不失一般性,设椭圆上第一象限点的坐标为(m,n),则由
      x2
      4
      +y2=1,可得y=
      1-
      x2
      4

      ∴y′=
      -x
      2
      4-x2

      ∴x=m时,y′=
      -m
      2
      4-m2

      ∴切线方程为y-n=
      -m
      2
      4-m2
      (x-m),即y-n=
      -m
      4n
      (x-m),即
      mx
      4
      +ny=1,
      令x=0,可得y=
      1
      n
      ,令y=0,可得x=
      4
      m

      ∴△AOB的面积为
      1
      2
      |xy|=
      2
      |mn|

      m2
      4
      +n2=1≥2
      m2
      4
      ?n2
      =|mn|,
      ∴|mn|≤1,当且仅当m=2n时取等号,
      ∴△AOB的面积为
      2
      |mn|
      ≥2,
      ∴△AOB的面积的最小值为2.
      故选D.

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