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  • 已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．
      （Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；
      （Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由
      {
      x2+2y2=2
      y=x+1
      ，
      得3x      2+4x=0，
      解得x=0或x=-
      4
      3
      ，
      ∴A，C两点的坐标为（0，1）和(-
      4
      3
      ，-
      1
      3
      )，
      ∴|AC|=
      4
      3
      √2
      ．
      （Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B(
      √2
      ，0)，
      ∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，
      ∴P(
      √2
      3
      ，0)，求得|AC|=
      4
      3
      √2
      ，
      ∴△OAC的面积等于
      1
      2
      ×
      4
      √2
      3
      ×
      √2
      3
      =
      4
      9
      ．
      ②若B不是椭圆的左、右顶点，
      设AC：y=kx+m（m≠0），A（x      1，y1），C（x2，y2），
      由
      {
      y=kx+m
      x2+2y2=2
      得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
      则      x1+x2=-
      4km
      2k2+1
      ，x1x2=
      2m2-2
      2k2+1
      ，
      ∴AC的中点P的坐标为(-
      2km
      2k2+1
      ，
      m
      2k2+1
      )，
      ∴B(-
      6km
      2k2+1
      ，
      3m
      2k2+1
      )，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．
      计算|AC|=
      √1+k2
      √(x1+x2)2-4x1x2
      =
      2
      √2
      √1+k2
      √2k2+1-m2
      2k2+1
      =
      8
      √1+k2
      9|m|
      ．
      ∵点O到AC的距离d      O-AC=
      |m|
      √1+k2
      ．
      ∴△OAC的面积      S△OAC=
      1
      2
      |AC|?dO-AC=
      1
      2
      ×
      8
      √1+k2
      9|m|
      ?
      |m|
      √1+k2
      =
      4
      9
      ．
      综上，△OAC面积为常数
      4
      9
      ．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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