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  • 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√63，长轴长为2√3，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若m=1，且OA?OB=0，求k的值（O点为坐标原点）；（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为√32，求△AOB面积的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)的离心率为
      √6
      3
      ，长轴长为2
      √3
      ，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
      （Ⅰ）求椭圆的方程；
      （Ⅱ）若m=1，且
      OA
      ?
      OB
      =0，求k的值（O点为坐标原点）；
      （Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为
      √3
      2
      ，求△AOB面积的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），依题意
      {
      c
      a
      =
      √6
      3
      a=
      √3
      解得c=
      √2
      ．
      由a      2=b2+c2，得b=1．
      ∴所求椭圆方程为
      x2
      3
      +y2=1

      （Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．
      设A（x      1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程
      {
      x2
      3
      +y2=1
      y=kx+1
      消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0&，
      则△=（6k）      2-4（1+3k2）×0＞0&，解得k≠0．
      故      x1+x2=
      -6k
      1+3k2
      ，x1?x2=0．
      ∵
      OA
      ?
      OB
      =0，∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）?（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
      =(1+k      2)×0+k?
      -6k
      1+3k2
      +1=
      1-3k2
      3k2+1
      =0∴k=±
      √3
      3
      ．
      （Ⅲ）由已知
      |m|
      √1+k2
      =
      √3
      2
      ，可得m2=
      3
      4
      (k2+1)．
      将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k      2）x2+6kmx+3m2-3=0．
      △=（6km）      2-4（1+3k2）（3m2-3）＞0（*）
      ∴      x1+x2=
      -6km
      1+3k2
      ，x1?x2=
      3m2-3
      1+3k2
      ．
      ∴|AB|      2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[
      36k2m2
      (3k2+1)2
      -
      12(m2-1)
      3k2+1
      ]
      =
      12(k2+1)(3k2+1-m2)
      (3k2+1)2
      =
      3(k2+1)(9k2+1)
      (3k2+1)2

      =3+
      12k2
      9k4+6k2+1
      =3+
      12
      9k2+
      1
      k2
      +6
      ≤3+
      12
      2×3+6
      =4(k≠0)．
      当且仅当9k      2=
      1
      k2
      ，即k=±
      √3
      3
      时等号成立．
      经检验，k=±
      √3
      3
      满足（*）式．
      当k=0时，|AB|=
      √3
      ．
      综上可知|AB|      max=2．∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值S=
      1
      2
      ×2×
      √3
      2
      =
      √3
      2
      ．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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