若存在区间M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=ex ②f（x）=x3 ③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有（写出所有正确命题的序号）．试题及答案-填空题-云返教育

试题详情

若存在区间M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=e^x②f（x）=x³③f（x）=cos

④f（x）=lnx+1
其中存在稳定区间的函数有（写出所有正确命题的序号）．

试题解答

②③

根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

：①对于函数f（x）=e^x若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有两个解，即y=e^x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．
②对于f（x）=x³存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．
③对于f（x）=sin

x，存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=sin

x∈[0，1]．
④对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，
即y=lnx 和 y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．
故答案为 ②③．

标签

高一下册沪教版填空题高一数学

试题详情

试题解答

余弦函数的单调性相关试题