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  • 已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在（0，）上是增函数．（1）试用观察法猜出两组ω与φ的值，并验证其符合题意；（2）求出所有符合题意的ω与φ的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在（0，）上是增函数．
      （1）试用观察法猜出两组ω与φ的值，并验证其符合题意；
      （2）求出所有符合题意的ω与φ的值．

      试题解答

      见解析
      （1）猜想：或；（4）分
      由      知，而f（x）=2sinx为奇函数且在上是增函数． （6分）
      由      知，而f（x）=2sin2x为奇函数且在上是增函数． （8分）

      （2）由f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x）
      ∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
      所以2cosωx?cosφ=0，
      又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
      解得?=kπ+      ，k∈Z． （10分）
      当k=2n（n∈Z）时，      为奇函数，
      由于f（x）在      上是增函数，
      所以ω＜0，由-      ，
      又f（x）在      上是增函数，故有，-2≤ω＜0，且ω=Z，
      ∴ω=-1或-2，故      ． （12分）
      当k=2n+1（n∈Z）时，      为奇函数，
      由于f（x）在      上是增函数，
      所以ω＞0，由-      ，
      又f（x）在      上是增函数，故有，0＜ω≤2，且ω=Z，
      ∴ω=1或2，故      （14分）
      所以所有符合题意的ω与φ的值为：
      或（16分）
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