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  • 已知动直线x=α（α∈R）与x轴交于A点，与函数f（x）=sinx和g（x）=cos（x+π6）的图象分别交于M、N两点，设h（α）=|AM|2+|AN|2．（Ⅰ）求函数h（α）的最小正周期及值域；（Ⅱ）求函数h（α）的单调递增区间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知动直线x=α（α∈R）与x轴交于A点，与函数f（x）=sinx和g（x）=cos（x+
      π
      6
      ）的图象分别交于M、N两点，设h（α）=|AM|2+|AN|2．
      （Ⅰ）求函数h（α）的最小正周期及值域；
      （Ⅱ）求函数h（α）的单调递增区间．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）根据题意，得A（α，0），M（α，sinα），N（α，cos（α+
      π
      6
      ）），
      ∴h（α）=|AM|      2+|AN|2
      =cos（α+
      π
      6
      ）+sinα
      =cosαcos
      π
      6
      -sinαsin
      π
      6
      +sinα
      =cosαcos
      π
      6
      +sinαsin
      π
      6

      =cos（α-
      π
      6
      ）
      ∴T=
      2π
      1
      =2π，
      值域为[-1，1]．
      （Ⅱ）结合（Ⅰ）得
      h（α）=cos（α-
      π
      6
      ）
      令-π+2kπ≤α-
      π
      6
      ≤2kπ，k∈Z，
      ∴-
      5π
      6
      +2kπ≤α≤
      π
      6
      +2kπ，k∈Z，
      ∴函数h（α）的单调递增区间[-
      5π
      6
      +2kπ，
      π
      6
      +2kπ]，k∈Z．
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